虚数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、以下の問いに答えます。 (1) 複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか図示します。 (2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角のとり得る値の範囲をそれぞれ求めます。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

1. 問題の内容

虚数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、以下の問いに答えます。

(1) 複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか図示します。

(2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角のとり得る値の範囲をそれぞれ求めます。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

2. 解き方の手順

(1)

$z = x + yi$ ($x, y$ は実数，$y \neq 0$) とおきます。

$z + \frac{1}{z} = x + yi + \frac{1}{x+yi} = x + yi + \frac{x-yi}{x^2+y^2} = x + \frac{x}{x^2+y^2} + (y - \frac{y}{x^2+y^2})i$

$z + \frac{1}{z}$ が実数となるためには、虚部が $0$ でなければなりません。

$y - \frac{y}{x^2+y^2} = 0$

$y(1 - \frac{1}{x^2+y^2}) = 0$

$y \neq 0$ より、$1 - \frac{1}{x^2+y^2} = 0$

$x^2+y^2 = 1$

これは原点中心、半径 $1$ の円を表します。ただし、$y \neq 0$ なので、$z$ は実軸上の点（$1$ と $-1$）を除きます。

(2)

$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$

$z$ は $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、$z = \cos\theta + i\sin\theta$ ($0 < \theta < 2\pi$, $\theta \neq \pi$) と表すことができます。

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = \cos\theta + \sqrt{2} + i(\sin\theta + \sqrt{2})$

ここで、$\sqrt{2} + \sqrt{2}i = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = z + 2e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\theta + i\sin\theta + \sqrt{2} + i\sqrt{2}$

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ とおくと、

$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4 = r^4(\cos4\alpha + i\sin4\alpha)$

$|w| = r^4$, $\arg(w) = 4\alpha$

$z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i = \cos\theta + \sqrt{2} + i(\sin\theta + \sqrt{2})$ より、

$r^2 = (\cos\theta + \sqrt{2})^2 + (\sin\theta + \sqrt{2})^2 = \cos^2\theta + 2\sqrt{2}\cos\theta + 2 + \sin^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta + 2 = 5 + 2\sqrt{2}(\cos\theta + \sin\theta) = 5 + 4\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$1 \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$

$1 \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ and $\theta + \frac{\pi}{4} \neq \frac{5\pi}{4}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$

$1 \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$

$1 \le r^2 \le 9$

$1 \le r \le 3$

$1 \le |w| \le 81$

$\alpha = \arg(z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i) = \arctan\frac{\sin\theta + \sqrt{2}}{\cos\theta + \sqrt{2}}$

$0 < \theta < 2\pi$, $\theta \neq \pi$

$4\alpha$

$\arg(w)$

$0 < \theta < 2\pi$なので、$0 \le \alpha \le \pi/2$

3. 最終的な答え

(1) 原点中心、半径 $1$ の円。ただし、$z = 1$ と $z = -1$ を除く。

(2) 絶対値：$1 \le |w| \le 81$

偏角：$0 \le \arg(w) < 2\pi$