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与えられた式 $x^2 + 2x - y^2 - 4y - 3$ を因数分解すること。

代数学因数分解平方完成多項式
2025/5/14

1. 問題の内容

与えられた式 x2+2x−y2−4y−3x^2 + 2x - y^2 - 4y - 3 を因数分解すること。

2. 解き方の手順

まず、xx に関する項と yy に関する項をそれぞれまとめます。
x2+2xx^2 + 2x と −y2−4y-y^2 - 4y を見ると、それぞれ平方完成できそうです。
x2+2x=(x+1)2−1x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1
−y2−4y=−(y2+4y)=−((y+2)2−4)=−(y+2)2+4-y^2 - 4y = -(y^2 + 4y) = -( (y+2)^2 - 4 ) = -(y+2)^2 + 4
与えられた式に代入すると、
x2+2x−y2−4y−3=(x+1)2−1−(y+2)2+4−3=(x+1)2−(y+2)2x^2 + 2x - y^2 - 4y - 3 = (x+1)^2 - 1 - (y+2)^2 + 4 - 3 = (x+1)^2 - (y+2)^2
これは A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) の形なので、
(x+1)2−(y+2)2=((x+1)+(y+2))((x+1)−(y+2))=(x+1+y+2)(x+1−y−2)=(x+y+3)(x−y−1)(x+1)^2 - (y+2)^2 = ( (x+1) + (y+2) )( (x+1) - (y+2) ) = (x+1+y+2)(x+1-y-2) = (x+y+3)(x-y-1)

3. 最終的な答え

(x+y+3)(x−y−1)(x+y+3)(x-y-1)

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