$\sqrt{n^2 + 100}$ が整数になるような $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 + 100}$ が整数になるような $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 + 100} = m$ （$m$ は整数）とおきます。両辺を2乗すると、

$n^2 + 100 = m^2$

$m^2 - n^2 = 100$

$(m+n)(m-n) = 100$

$m$ と $n$ は整数なので、$m+n$ と $m-n$ も整数です。

また、$m^2 = n^2 + 100$ より $m > n \geq 0$ であることがわかります。従って、$m+n > 0$ かつ $m-n > 0$ です。

$100$ の約数の組み合わせを考えます。

$100 = 1 \times 100 = 2 \times 50 = 4 \times 25 = 5 \times 20 = 10 \times 10$

それぞれの組み合わせについて、

$m+n = a$

$m-n = b$

とおくと、

$2m = a+b$

$2n = a-b$

$m = \frac{a+b}{2}$

$n = \frac{a-b}{2}$

$m$ と $n$ が整数であるためには、$a+b$ と $a-b$ が偶数でなければなりません。つまり、$a$ と $b$ の偶奇が一致する必要があります。

以下の組み合わせについて、$n$ を求めます。

(1) $m+n = 50$, $m-n = 2$ のとき

$2n = 50-2 = 48$

$n = 24$

(2) $m+n = 10$, $m-n = 10$ のとき

$2n = 10-10 = 0$

$n = 0$

3. 最終的な答え

$n = 0, 24$