2次不等式 $2x^2 + 3x - 9 \leqq 0$ を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $2x^2 + 3x - 9 \leqq 0$ を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次不等式を解くために、2次式 $2x^2 + 3x - 9$ を因数分解します。

$2x^2 + 3x - 9 = (2x - 3)(x + 3)$

したがって、不等式は

$(2x - 3)(x + 3) \leqq 0$

となります。

この不等式が成り立つのは、$2x - 3$ と $x + 3$ の符号が異なる場合、もしくはどちらかが0の場合です。

つまり、以下の2つのケースを考えます。

ケース1:

$2x - 3 \geqq 0$ かつ $x + 3 \leqq 0$

$2x \geqq 3$ より $x \geqq \frac{3}{2}$

$x \leqq -3$

これらを同時に満たす $x$ は存在しません。

ケース2:

$2x - 3 \leqq 0$ かつ $x + 3 \geqq 0$

$2x \leqq 3$ より $x \leqq \frac{3}{2}$

$x \geqq -3$

したがって、$-3 \leqq x \leqq \frac{3}{2}$ となります。

これを満たす整数 $x$ は、$x = -3, -2, -1, 0, 1$ です。

3. 最終的な答え

$x = -3, -2, -1, 0, 1$