与えられた各図において、角度 $x$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

与えられた各図において、角度 $x$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

**(1)**

* 円周角の定理より、$\angle BAC$ は中心角 $\angle BOC$ の半分である。しかし、この定理を直接使うには、$\angle BOC$ が円弧 $BC$ に対する中心角である必要がある。

* $\angle BOC = 140^\circ$ は円弧 $BC$ に対する中心角であるので、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$ ではない。代わりに、$\angle BOC$ の対角（360度から引いた残りの角）が円弧 $BC$ に対する中心角となる。

* 円弧 $BC$ に対する中心角は $360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$ である。したがって、円弧 $BC$ に対する円周角は $\frac{1}{2} \times 220^\circ = 110^\circ$ である。つまり、$\angle BAC = 110^\circ$ である。

* 三角形の内角の和は180度なので、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ が成り立つ。

* 問題より、$\angle ABC = 45^\circ$、$\angle CAB = 110^\circ$ であるから、$45^\circ + x + 110^\circ = 180^\circ$ が成り立つ。

* したがって、$x = 180^\circ - 45^\circ - 110^\circ = 25^\circ$ である。

**(2)**

* 円周角の定理より、$\angle BAC$ と $\angle BDC$ は同じ円弧 $BC$ に対する円周角なので、$\angle BDC = \angle BAC = 60^\circ$ である。

* 同様に、$\angle CBD$ と $\angle CAD$ は同じ円弧 $CD$ に対する円周角なので、$\angle CBD = \angle CAD = 70^\circ$ である。

* 三角形の内角の和は180度なので、$\angle BDC + \angle CBD + \angle BCD = 180^\circ$。

* したがって、$x = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$ である。

**(3)**

* $\triangle ABC$ において、$AB = AC$ より、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。したがって、$\angle ABC = \angle ACB$ である。

* $\angle BAC = x$ とすると、$\angle ABC = \angle ACB = 40^\circ$ である。

* 三角形の内角の和は180度なので、$x + 40^\circ + 40^\circ = 180^\circ$ が成り立つ。

* したがって、$x = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$ である。

**(4)**

* 円周角の定理より、$\angle BAC$ は中心角 $\angle BOC$ の半分である。$\angle BOC$ が直線であるので、 $\angle BOC = 180^\circ$ である。

* したがって、$\angle BAC = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$ である。

* 四角形の内角の和は360度であるから、$\angle BAC + \angle ACB + \angle CDB + \angle DBA = 360^\circ$。

* $\angle BAC = 90^\circ$、$\angle CDB = 115^\circ$ より、$\angle ACB + \angle DBA = 360^\circ - 90^\circ - 115^\circ = 155^\circ$。

* $\triangle ABC$ において、$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$。

* 円周角の定理より、$\angle ADC = \angle ABC = 115^\circ$である。

* $\angle BCA = x$ とすると、三角形の内角の和の公式から $x + 115^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ とならない。

* 四角形 $ABCD$ は円に内接しているので、対角の和は $180^\circ$ である。したがって、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$ となる。

* また、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$ となる。したがって、$\angle ABC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$ となる。

* したがって、$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 25^\circ$

(2) $x = 50^\circ$

(3) $x = 100^\circ$

(4) $x = 25^\circ$