$\theta$は鋭角であり、$\sin\theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であり、$\sin\theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$なので、$\cos\theta$の値を求めることを考える。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$という関係式が成り立つので、これを利用する。

$\sin\theta = \frac{2}{3}$を代入すると、

$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos\theta > 0$より、

$\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

したがって、$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$