三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。点E, Dはそれぞれ辺AB, AC上にあり、BEとCM、CDとBMはそれぞれ直交している。∠A = 65°であるとき、∠DMEの大きさを求める問題である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。点E, Dはそれぞれ辺AB, AC上にあり、BEとCM、CDとBMはそれぞれ直交している。∠A = 65°であるとき、∠DMEの大きさを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、△BECと△BDCにおいて、それぞれBM, CMが中線であり、かつ垂線であることから、△BECと△BDCは二等辺三角形であることがわかる。

したがって、BE = EC、BD = DCとなる。

また、△ABCにおいて、点E, Dから辺BCに下ろした垂線の足がそれぞれMであることから、E, Dはそれぞれ△ABCの外心から辺AB, ACに下ろした垂線の足であることがわかる。

ここで、∠A = 65°であるから、△ABCの外角の中心をOとすると、∠BOC = 2∠A = 130°となる。

よって、∠BOM = ∠COM = 65°となる。

また、∠BEO = ∠CDO = 90°であるから、四角形AEODは円に内接する。

したがって、∠EOD = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°となる。

ここで、∠BOC + ∠EOD = 130° + 115° = 245°であるから、∠DME = 360° - 245° = 115°となる。

あるいは、△BECと△BDCが二等辺三角形であることから、∠EBC = ∠ECB、∠DBC = ∠DCBとなる。

また、MはBCの中点であるから、BM = MCとなる。

よって、△EBM ≡ △ECM、△DBM ≡ △DCMとなる。

したがって、∠BME = ∠CME、∠BMD = ∠CMDとなる。

また、∠BME + ∠CME = 180°、∠BMD + ∠CMD = 180°であるから、∠BME = ∠CME = 90°、∠BMD = ∠CMD = 90°となる。

ここで、∠EBM + ∠BME + ∠BEM = 180°、∠DCM + ∠CMD + ∠CDM = 180°であるから、∠EBM + ∠BEM = 90°、∠DCM + ∠CDM = 90°となる。

また、∠EBC + ∠DBC + ∠ABD + ∠ACE = 180°であるから、∠ABC + ∠ACB = 180° - 65° = 115°となる。

∠ABE + ∠ACD = 90° - ∠A = 90° - 65° = 25°であるから、∠EBD + ∠DCE = 115° - 25° = 90°となる。

したがって、∠DME = 180° - ∠MDE - ∠DEM = 180° - (90° - ∠A/2) - (90° - ∠A/2) = ∠A = 65°となる。

別の解き方として、△ABEと△ACDに着目すると、∠AEB = ∠ADC = 90°であり、∠A = 65°なので、四角形AEDCは円に内接する。

従って、∠ADE = ∠ABE = 90 - 65 = 25度。

同様に、∠AED = ∠ACD = 25度。

さらに、MはBCの中点であるので、△BMCは二等辺三角形であり、∠MBC = ∠MCBとなる。

また、∠BME = 90度、∠CMD = 90度であるので、∠EMB = ∠DMC = 90度となる。

また、∠EBM + ∠DEM = 90度なので、∠EBM = 90 - ∠DEMとなる。

ここで、四角形EMDCの内角の和は360度であるので、∠EMC + ∠MDC + ∠DCE + ∠CEM = 360度となる。

従って、90 + ∠MDC + 25 + 25 = 360度より、∠MDC = 220度となるがこれはありえない。

△ABCにおいて、AEとCDの交点をOとする。

△AEOと△CDOにおいて、∠AEO = ∠CDO = 90°である。

また、∠AOE = ∠CODである。

よって、∠EAO = ∠DCO = 90° - ∠AOEとなる。

ここで、∠A = 65°であるから、∠ABC + ∠ACB = 180° - 65° = 115°となる。

∠EBM + ∠DCM = ∠ABC + ∠ACB - (∠ABE + ∠ACD) = 115° - (90° - 65°) = 115° - 25° = 90°となる。

また、BM = CMであるから、△EBM ≡ △DCMとは限らない。

よって、EM = DMとは限らない。

別の考え方として、点BとCからそれぞれAEとADに下ろした垂線の足をEとDとする。

Mは辺BCの中点であるから、BM = MCである。

△BMEと△CMDにおいて、∠BME = ∠CMD = 90°である。

よって、∠MBE = 90° - ∠BEM = 90° - 65° = 25°である。

また、∠MCD = 90° - ∠CDM = 90° - 65° = 25°である。

したがって、∠DME = ∠EMB + ∠BMC + ∠CMD = 90° + (180° - (25° + 25°)) + 90° = 180° + 130° = 310°となる。

これはありえない。

3. 最終的な答え

115°