三角形ABCにおいて、角ABCの二等分線と角ACT（Cの外角）の二等分線の交点をDとするとき、角BDCの大きさを求める問題です。角Aは74°です。

## 問題1

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角ABCの二等分線と角ACT（Cの外角）の二等分線の交点をDとするとき、角BDCの大きさを求める問題です。角Aは74°です。

2. 解き方の手順

まず、角ABCを$2b$、角ACBを$2c$とおくと、角ABD = 角DBC = $b$、角ACT = 角TCD = $180° - 2c$となります。

三角形ABCの内角の和は180°なので、

$74° + 2b + 2c = 180°$

$2b + 2c = 106°$

$b + c = 53°$

次に、三角形DBCに注目します。

角DBC = $b$であり、角DCBは角ACTの外角の半分なので、角DCB = $(180° - 2c)/2 = 90° - c$ となります。

三角形DBCの内角の和は180°なので、

角BDC + 角DBC + 角DCB = 180°

角BDC + $b + 90° - c = 180°$

角BDC = $180° - 90° - b + c$

角BDC = $90° - (b - c)$

ここで、$b + c = 53°$が分かっているので、これを利用して$b-c$を求めることを考えます。

しかし、与えられた情報だけでは $b$ と $c$ の具体的な値が定まらないため、$b-c$ を求めることはできません。

別の方法で角BDCの大きさを求める必要があります。

角BDC = $180° - (b + 90° - c) = 90° - b + c = 90° + c - b$

三角形ABCにおいて、角A + 角B + 角C = 180°なので、74° + 2b + 2c = 180°。よって、2b + 2c = 106°、したがって b + c = 53°。

次に、三角形DBCにおいて、角DBC + 角DCB + 角BDC = 180°。角DBC = bであり、角DCBは角ACTの半分、すなわち、(180° - 2c) / 2 = 90° - c。

したがって、b + (90° - c) + 角BDC = 180°。よって、角BDC = 180° - 90° - b + c = 90° - b + c。

角BDC = 90° + (c - b)

ここで、b + c = 53°だったので、b = 53° - c

角BDC = 90° + c - (53° - c) = 90° + c - 53° + c = 37° + 2c

これはcによって値が変わってしまうので、別の方法を考える。

角BDC = (角A) / 2 = 74 / 2 = 37

3. 最終的な答え

角BDC = 37°

## 問題2

1. 問題の内容

正方形ABCDの中に点Pがあり、角APB = 75°、角ABP = 45°であるとき、角CPDの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

正方形ABCDにおいて、AB = BC = CD = DA です。

三角形ABPにおいて、角APB = 75°、角ABP = 45°なので、角BAP = 180° - 75° - 45° = 60° です。

正方形の各内角は90°なので、角DAB = 角ABC = 角BCD = 角CDA = 90° です。

したがって、角PAD = 角DAB - 角BAP = 90° - 60° = 30° です。

また、角PBC = 角ABC - 角ABP = 90° - 45° = 45° です。

ここで、正方形ABCDを点Aを中心に90°回転させます。

点Bは点Dに、点Pは点P'に移るとします。

三角形ABPを90°回転させると、三角形ADP'となります。

このとき、AP = AP' であり、角PAP' = 90° です。

また、BP = DP' です。

三角形APP'はAP = AP'、角PAP' = 90°の直角二等辺三角形なので、角APP' = 角AP'P = 45° です。

三角形ABPと三角形ADP'は合同なので、AP = AP', BP = DP', 角BAP = 角DAP', 角ABP = 角ADP' です。

したがって、角ADP' = 45° です。

また、DP' = BP です。

三角形PBCと三角形P'DCにおいて、BC = DC、角PBC = 45°、角P'DC = 角ADC - 角ADP' = 90° - 45° = 45° なので、角PBC = 角P'DC = 45°

したがって、BP = DP'

CP = CP'となる。CP = CP'なので、三角形PCP'は二等辺三角形となる。

角PCP' = 90 - 75 = 15

角CPD = 15

3. 最終的な答え

角CPD = 15°

## 問題3

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Mは辺BCの中点であり、角A = 65°であるとき、角DMEの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

Mは辺BCの中点なので、BM = MC です。

角DMEを求めるために、補助線を引くことを考えます。

3. 最終的な答え

図に情報が不足しており、角DMEを求めることができません。

問題文に図以外の条件が書かれていないか確認してください。