円Oにおいて、∠ABC = 60° である。このとき、∠BAC = x と ∠BCO = y の値を求めよ。ただし、Oは円の中心である。

1. 問題の内容

円Oにおいて、∠ABC = 60° である。このとき、∠BAC = x と ∠BCO = y の値を求めよ。ただし、Oは円の中心である。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の値を求める。

円周角の定理より、∠AOC は ∠ABC の2倍である。

したがって、

$∠AOC = 2∠ABC = 2 \times 60° = 120°$

円周角の定理より、∠AOCに対する円周角は $x$ であるから、

$x = \frac{1}{2} ∠AOC = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$

次に、$y$ の値を求める。

∠COD は直線なので、180°である。COとODはどちらも円の半径なので、長さが等しい。

したがって、△CODは二等辺三角形である。

∠COD = 180°より、CO ⊥ OD が成り立ち、∠COD = 90°である。

よって、$∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°$

△BOCは、BO = CO より二等辺三角形である。

したがって、∠OBC = ∠BCO = y。

三角形の内角の和は180°なので、

$∠BOC + ∠OBC + ∠BCO = 180°$

$60° + y + y = 180°$

$2y = 120°$

$y = 60°$

または、CO ⊥ ODより、∠COD = 90°である。

したがって、$∠BCO = y = 90° - ∠BOC$

$y = 90° - 60° = 30°$

△BOCについて考察する。

$∠BOC = 60°$であり、$BO = CO$より、△BOCは正三角形である。

したがって、$∠OBC = ∠BCO = 60°$

しかし、$∠OBC + ∠OBA = 60°$より、$∠OBA = 0°$となってしまうため、矛盾が生じる。

$y = 30°$

3. 最終的な答え

x = 60°

y = 30°