一辺の長さが8の正三角形ABCがあり、辺BCを直径とする半円が描かれている。半円の周上に点Dがあり、線分BDの長さが$a$である。線分ADと線分BCの交点をEとする。 (1) $a=4$のとき、 (i) 線分CDの長さを求めよ。 (ii) 線分BEと線分CEの長さの比を求めよ。 (iii) 線分AEの長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形BDCの面積を$S_2$とするとき、$S_1 : S_2 = 4 : \sqrt{5}$であるときの$a$の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが8の正三角形ABCがあり、辺BCを直径とする半円が描かれている。半円の周上に点Dがあり、線分BDの長さが$a$である。線分ADと線分BCの交点をEとする。

(1) $a=4$のとき、

(i) 線分CDの長さを求めよ。

(ii) 線分BEと線分CEの長さの比を求めよ。

(iii) 線分AEの長さを求めよ。

(2) 三角形ABCの面積を$S_1$, 三角形BDCの面積を$S_2$とするとき、$S_1 : S_2 = 4 : \sqrt{5}$であるときの$a$の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=4$とする。

(i) 線分CDの長さを求める。

三角形BCDは、BCを直径とする半円に内接する三角形なので、$\angle BDC = 90^\circ$である。

したがって、三角形BCDは直角三角形である。三平方の定理より、

$CD^2 + BD^2 = BC^2$

$CD^2 + 4^2 = 8^2$

$CD^2 + 16 = 64$

$CD^2 = 48$

$CD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

(ii) 線分BEと線分CEの長さの比を求める。

三角形ABDと三角形ACDについて、メネラウスの定理を適用する。

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DF}{FB} = 1$ は必要ない。

三角形ABDにおいて、直線CEについてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{BE}{EA} \cdot \frac{AC}{CD} \cdot \frac{DX}{XB} = 1$ は必要ない。

三角形ADCにおいて、直線BEについてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$ は必要ない。

三角形ABDにおいて、直線CEが交わるので、メネラウスの定理を適用する。

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

角の二等分線の定理を使う。

$\angle ADB = \angle ACB = 60^\circ$

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$ は正しくない。

三角形BCDは直角三角形なので、

$\angle DBC = \theta$とすると、$\sin\theta = \frac{CD}{BC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。したがって、$\theta = 60^\circ$。

$\angle BDC = 90^\circ$より、$\angle BCD = 30^\circ$。

$\angle ADE = 180 - (\angle ADB + \angle BDC)$

三角形ABEと三角形CDEに着目する。

$\angle BAE = \alpha, \angle CDE = \beta$とする。

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{CD} \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$ は正しくない。

$\frac{BE}{CE} = \frac{BD}{CD}$

$\frac{BE}{CE} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、$BE:CE = 1:\sqrt{3}$

(iii) 線分AEの長さを求める。

$BE + CE = BC = 8$

$BE:CE = 1:\sqrt{3}$なので、$BE = x, CE = \sqrt{3}x$とおくと、

$x + \sqrt{3}x = 8$

$x(1+\sqrt{3}) = 8$

$x = \frac{8}{1+\sqrt{3}} = \frac{8(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{8(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{8(1-\sqrt{3})}{-2} = -4(1-\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3}-1)$

したがって、$BE = 4(\sqrt{3}-1)$

$CE = \sqrt{3} \times 4(\sqrt{3}-1) = 4(3-\sqrt{3})$

三角形ABEと三角形CDEは相似なので、

$\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CD} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}$

$\frac{AE}{AD} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3} + \sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}-1}$

余弦定理より、$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cdot \cos 60^\circ = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 16 - 32 = 48$

$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$\frac{AE}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}-1}$

$AE = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}-1} = \frac{4(3-\sqrt{3})}{2\sqrt{3}-1} = \frac{4(3-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)} = \frac{4(6\sqrt{3}+3-6-\sqrt{3})}{12-1} = \frac{4(5\sqrt{3}-3)}{11}$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $CD = 4\sqrt{3}$

(ii) $BE:CE = 1:\sqrt{3}$

(iii) $AE = \frac{4(5\sqrt{3}-3)}{11}$