半径$a$ mの円形の池の周りに、幅$b$ mの道がある。この道の面積を$S$ m$^2$、道の真ん中を通る円の周の長さを$\ell$ mとするとき、$S = b\ell$となることを証明する。

1. 問題の内容

半径$a$ mの円形の池の周りに、幅$b$ mの道がある。この道の面積を$S$ m$^2$、道の真ん中を通る円の周の長さを$\ell$ mとするとき、$S = b\ell$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を求める。

道の外側の円の半径は$a+b$ mなので、外側の円の面積は$\pi (a+b)^2$ m$^2$。池の面積は$\pi a^2$ m$^2$。したがって、道の面積$S$は

$S = \pi (a+b)^2 - \pi a^2$

$S = \pi (a^2 + 2ab + b^2) - \pi a^2$

$S = \pi a^2 + 2\pi ab + \pi b^2 - \pi a^2$

$S = 2\pi ab + \pi b^2$ ...(1)

次に、道の真ん中を通る円の周の長さ$\ell$を求める。

道の真ん中を通る円の半径は$a + \frac{b}{2}$ mなので、その円周の長さ$\ell$は

$\ell = 2\pi (a + \frac{b}{2})$

$\ell = 2\pi a + \pi b$

したがって、$b\ell$は

$b\ell = b(2\pi a + \pi b)$

$b\ell = 2\pi ab + \pi b^2$ ...(2)

(1)と(2)より、$S = b\ell$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = b\ell$