2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が、ともに1より小さい異なる2つの解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が、ともに1より小さい異なる2つの解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 5$ とおきます。

この2次方程式が、ともに1より小さい異なる2つの解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ）

(2) 軸 $m < 1$ （2つの解がともに1より小さい）

(3) $f(1) > 0$ （2つの解がともに1より小さい）

(1) 判別式 $D$ について計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(2m^2 - 5) = 4m^2 - 8m^2 + 20 = -4m^2 + 20$

$D > 0$ より、

$-4m^2 + 20 > 0$

$4m^2 < 20$

$m^2 < 5$

$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

(2) 軸について計算します。

$f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 5$ の軸は $x = m$ です。

$m < 1$

(3) $f(1)$ について計算します。

$f(1) = 1^2 - 2m(1) + 2m^2 - 5 = 1 - 2m + 2m^2 - 5 = 2m^2 - 2m - 4$

$f(1) > 0$ より、

$2m^2 - 2m - 4 > 0$

$m^2 - m - 2 > 0$

$(m - 2)(m + 1) > 0$

$m < -1$ または $m > 2$

上記の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$ より、約 -2.236 < m < 2.236

(2) $m < 1$

(3) $m < -1$ または $m > 2$

数直線を考えると、

$-\sqrt{5} < m < -1$ が条件をすべて満たします。

また、$2 < m < \sqrt{5}$ を満たしますが、$m < 1$ の条件を満たしません。

したがって、求める $m$ の範囲は $-\sqrt{5} < m < -1$ です。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{5} < m < -1$