与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。選択肢の中から、条件を満たすものを探します。

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。選択肢の中から、条件を満たすものを探します。

2. 解き方の手順

(1) 初項3, 公比-2 のとき

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。

ここで、$a$は初項、$r$は公比です。

$a = 3$, $r = -2$ を代入すると、

$S_n = \frac{3(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{3(1-(-2)^n)}{3} = 1 - (-2)^n$

(2) 初項2, 公比$\sqrt{3}$ のとき

$a = 2$, $r = \sqrt{3}$ を代入すると、

$S_n = \frac{2(1-(\sqrt{3})^n)}{1-\sqrt{3}}$

$S_n = \frac{2(1-(\sqrt{3})^n)}{1-\sqrt{3}} = \frac{2(1-(\sqrt{3})^n)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{2(1+\sqrt{3})(1-(\sqrt{3})^n)}{1-3} = -(1+\sqrt{3})(1-(\sqrt{3})^n)$

$S_n = (1+\sqrt{3})((\sqrt{3})^n - 1)$

(3) 初項-3, 公比1 のとき

公比が1なので、数列は $-3, -3, -3, ...$ となります。

したがって、$S_n = -3n$

(4) 一般項が $-4 \cdot 3^n$ のとき

初項は $n=1$ のときの値なので、$a = -4 \cdot 3^1 = -12$

公比は隣り合う項の比なので、$r = \frac{-4 \cdot 3^{n+1}}{-4 \cdot 3^n} = 3$

$a = -12$, $r = 3$ を代入すると、

$S_n = \frac{-12(1-3^n)}{1-3} = \frac{-12(1-3^n)}{-2} = 6(1-3^n) = 6 - 6 \cdot 3^n$

3. 最終的な答え

それぞれの選択肢に対する和は以下のようになります。

(1) $S_n = 1 - (-2)^n$

(2) $S_n = (1+\sqrt{3})((\sqrt{3})^n - 1)$

(3) $S_n = -3n$

(4) $S_n = 6 - 6 \cdot 3^n$

（画像にチェックが入っている選択肢は(1)なので、(1)が解答であると考えられます。）

答え：(1) $S_n = 1 - (-2)^n$