次の数列の初項から第n項までの和を求める問題です。 数列は $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ で与えられています。

1. 問題の内容

次の数列の初項から第n項までの和を求める問題です。

数列は $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n$ は、初項が1、公比が2の等比数列の第n項までの和です。したがって、等比数列の和の公式から、

$$a_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$$

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2^k - 1)$$

和を分解します。

$$S_n = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1$$

$\sum_{k=1}^n 2^k$ は、初項が2、公比が2の等比数列の第n項までの和なので、等比数列の和の公式から、

$$\sum_{k=1}^n 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$$

また、 $\sum_{k=1}^n 1 = n$ なので、

$$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$$

3. 最終的な答え

$$S_n = 2^{n+1} - n - 2$$