$4^{\frac{5}{6}}$, $\log_2 3$, $\log_4 7$, $2^{\frac{4}{3}}$ の4つの数を小さい順に並べ替える問題です。

1. 問題の内容

$4^{\frac{5}{6}}$, $\log_2 3$, $\log_4 7$, $2^{\frac{4}{3}}$ の4つの数を小さい順に並べ替える問題です。

2. 解き方の手順

各数を比較しやすいように、近似値を求めます。

* $4^{\frac{5}{6}}$ について

$4^{\frac{5}{6}} = (2^2)^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{10}{6}} = 2^{\frac{5}{3}}$

$\frac{5}{3} = 1.666...$ なので、$2^{1.666...}$ を考えます。

$2^{1.5} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2.828$

$2^{2} = 4$

より、$2^{1.666...}$ は2.828と4の間にあるので、約3くらいだと考えられます。

より正確に計算すると、$2^{5/3} \approx 3.1748$

* $\log_2 3$ について

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

なので、$1 < \log_2 3 < 2$ です。

$3$ は $2$ と $4$ の間にあるので、$\log_2 3$ は $1$ と $2$ の間の中間くらい、つまり1.5くらいと考えられます。

より正確に計算すると、$\log_2 3 \approx 1.585$

* $\log_4 7$ について

$4^1 = 4$

$4^2 = 16$

なので、$1 < \log_4 7 < 2$ です。

$7$ は $4$ と $16$ の間にあるので、$\log_4 7$ は $1$ と $2$ の間にあることがわかります。

$4^{1.5} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ なので、$\log_4 7 < 1.5$ であることがわかります。

より正確に計算すると、$\log_4 7 \approx 1.404$

* $2^{\frac{4}{3}}$ について

$\frac{4}{3} = 1.333...$ なので、$2^{1.333...}$ を考えます。

$2^{1} = 2$

$2^{1.5} \approx 2.828$

より、$2^{1.333...}$ は2と2.828の間にあるので、約2.5くらいと考えられます。

より正確に計算すると、$2^{4/3} \approx 2.5198$

したがって、$1.404 < 1.585 < 2.520 < 3.175$ なので、

$\log_4 7 < \log_2 3 < 2^{\frac{4}{3}} < 4^{\frac{5}{6}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_4 7$, $\log_2 3$, $2^{\frac{4}{3}}$, $4^{\frac{5}{6}}$