各項が実数である等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_5 = \frac{1}{4}$、$a_8 = 2$ である。このとき、初項、公比、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求め、また、$S_n < 16$ となるような最大の $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

各項が実数である等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_5 = \frac{1}{4}$、$a_8 = 2$ である。このとき、初項、公比、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求め、また、$S_n < 16$ となるような最大の $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ とおく。ただし、$a$ は初項、$r$ は公比である。

$a_5 = \frac{1}{4}$ より、

$ar^4 = \frac{1}{4}$ (1)

$a_8 = 2$ より、

$ar^7 = 2$ (2)

(2) ÷ (1) より、

$\frac{ar^7}{ar^4} = \frac{2}{\frac{1}{4}}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$r=2$ を(1)に代入して、

$a (2^4) = \frac{1}{4}$

$16a = \frac{1}{4}$

$a = \frac{1}{64}$

公比 $r = 2$ であり、$r \neq 1$ であるから、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{\frac{1}{64}(2^n - 1)}{2-1} = \frac{2^n - 1}{64}$

$S_n < 16$ となるような最大の $n$ を求める。

$\frac{2^n - 1}{64} < 16$

$2^n - 1 < 16 \times 64 = 1024$

$2^n < 1025$

$2^{10} = 1024$ より、$n < 10.0014...$

したがって、$S_n < 16$ となるような最大の $n$ は $n=10$ である。

3. 最終的な答え

初項: $\frac{1}{64}$

公比: $2$

$S_n = \frac{2^n - 1}{64}$

最大の $n$: $10$