関数 $f(x) = 2x$ と $g(x) = x^2 + 1$ が与えられています。以下の合成関数を求めます。 (1) $(g \circ f)(2)$ (2) $(f \circ g)(2)$ (3) $(g \circ f)(x)$ (4) $(f \circ g)(x)$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x$ と $g(x) = x^2 + 1$ が与えられています。以下の合成関数を求めます。

(1) $(g \circ f)(2)$

(2) $(f \circ g)(2)$

(3) $(g \circ f)(x)$

(4) $(f \circ g)(x)$

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(2) = g(f(2))$ を計算します。

まず $f(2)$ を求めます。$f(2) = 2 \times 2 = 4$。

次に $g(4)$ を求めます。$g(4) = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17$。

したがって、$(g \circ f)(2) = 17$。

(2) $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ を計算します。

まず $g(2)$ を求めます。$g(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$。

次に $f(5)$ を求めます。$f(5) = 2 \times 5 = 10$。

したがって、$(f \circ g)(2) = 10$。

(3) $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を計算します。

まず $f(x)$ は $2x$ です。

次に $g(2x)$ を求めます。$g(2x) = (2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1$。

したがって、$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 1$。

(4) $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を計算します。

まず $g(x)$ は $x^2 + 1$ です。

次に $f(x^2 + 1)$ を求めます。$f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$。

したがって、$(f \circ g)(x) = 2x^2 + 2$。

3. 最終的な答え

(1) $(g \circ f)(2) = 17$

(2) $(f \circ g)(2) = 10$

(3) $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 1$

(4) $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 2$