与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$A = a^3$, $B = b^3$ と置換すると、与えられた式は次のようになります。

$A^2 + 26AB - 27B^2$

次に、この式を因数分解します。これは、$AB$の係数が26, 定数項が-27であることから、$27$と$-1$の組み合わせで因数分解できることがわかります。

したがって、

$A^2 + 26AB - 27B^2 = (A + 27B)(A - B)$

ここで、$A = a^3$, $B = b^3$ を元に戻すと、

$(a^3 + 27b^3)(a^3 - b^3)$

それぞれの括弧の中身をさらに因数分解します。

$a^3 + 27b^3 = a^3 + (3b)^3$ は和の3乗の公式 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ を用いて因数分解できます。

$a^3 + (3b)^3 = (a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$

$a^3 - b^3$ は差の3乗の公式 $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ を用いて因数分解できます。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

したがって、元の式は次のように因数分解できます。

$(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$(a - b)(a + 3b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - 3ab + 9b^2)$

3. 最終的な答え

$(a - b)(a + 3b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - 3ab + 9b^2)$