関数 $f(x) = (x-1)^2$（$x \geq 1$）の逆関数を $g(x)$ とします。 (1) $g(x)$ を求めます。 (2) $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x-1)^2$（$x \geq 1$）の逆関数を $g(x)$ とします。

(1) $g(x)$ を求めます。

(2) $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x) = (x-1)^2$ とおきます。$x \geq 1$ より、$x-1 \geq 0$ です。

$x$ について解くために、$x-1 = \sqrt{y}$ となります。

したがって、$x = \sqrt{y} + 1$ です。

逆関数 $g(x)$ は、$y$ と $x$ を入れ替えて、$g(x) = \sqrt{x} + 1$ となります。

$f(x)$ の定義域は $x \geq 1$ であり、値域は $y \geq 0$ です。したがって、$g(x)$ の定義域は $x \geq 0$ であり、値域は $y \geq 1$ です。

(2) $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を求めます。

$f(g(x)) = f(\sqrt{x} + 1) = ((\sqrt{x} + 1) - 1)^2 = (\sqrt{x})^2 = x$ です。

ただし、$x \geq 0$ です。

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を求めます。

$g(f(x)) = g((x-1)^2) = \sqrt{(x-1)^2} + 1 = |x-1| + 1$ です。

$x \geq 1$ より、$x-1 \geq 0$ なので、$|x-1| = x-1$ となります。

したがって、$g(f(x)) = x-1 + 1 = x$ となります。

ただし、$x \geq 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $g(x) = \sqrt{x} + 1$

(2) $(f \circ g)(x) = x$ (ただし、$x \geq 0$), $(g \circ f)(x) = x$ (ただし、$x \geq 1$)