与えられた関数の最大値と最小値を、定義域内で求めます。 (1) $f(x) = \tan x$, 定義域: $-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ (2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$, 定義域: $2 \le x \le 8$

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を、定義域内で求めます。

(1) $f(x) = \tan x$, 定義域: $-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$, 定義域: $2 \le x \le 8$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \tan x$ の場合：

$\tan x$ は区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ で単調増加です。

定義域は$-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$なので、

$x = -\frac{\pi}{4}$ のとき、最小値を取ります。

$x = \frac{\pi}{2}$ に近づくにつれて、$\tan x$ は限りなく大きくなるので、最大値は存在しません。

最小値は、

$f(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ の場合：

$\log_{\frac{1}{2}} x$ は単調減少関数です。

定義域は $2 \le x \le 8$なので、

$x = 2$ のとき、最小値を取ります。

$x = 8$ のとき、最大値を取ります。

最大値は、

$f(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$

最小値は、

$f(8) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-3} = -3$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -1, 最大値: なし

(2) 最大値: -1, 最小値: -3