関数 $f(x) = -2x + 4$ と $g(x) = ax + b$ が与えられている。合成関数 $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ が等しく、かつ $f(3) = g(2)$ が成り立つような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x + 4$ と $g(x) = ax + b$ が与えられている。合成関数 $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ が等しく、かつ $f(3) = g(2)$ が成り立つような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(3)$ と $g(2)$ を計算する。

$f(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2$

$g(2) = 2a + b$

条件より、$f(3) = g(2)$ なので、

$-2 = 2a + b$

次に、合成関数 $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ を計算する。

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(ax + b) = -2(ax + b) + 4 = -2ax - 2b + 4$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(-2x + 4) = a(-2x + 4) + b = -2ax + 4a + b$

条件より、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ なので、

$-2ax - 2b + 4 = -2ax + 4a + b$

この式から $-2ax$ の項を消去すると、

$-2b + 4 = 4a + b$

$4a + 3b = 4$

連立方程式を解く。

$\begin{cases}

2a + b = -2 \\

4a + 3b = 4

\end{cases}$

1番目の式を2倍して、

$4a + 2b = -4$

2番目の式から引くと、

$(4a + 3b) - (4a + 2b) = 4 - (-4)$

$b = 8$

$2a + b = -2$ に $b=8$ を代入すると、

$2a + 8 = -2$

$2a = -10$

$a = -5$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 8$