7人乗りのタクシーと5人乗りのタクシーを合わせて8台使い、47人の客を運びたい。7人乗りのタクシーの料金は800円、5人乗りのタクシーの料金は720円である。全体の料金が6100円を超えないようにするには、7人乗りと5人乗りのタクシーをそれぞれ何台使えばよいか。

1. 問題の内容

7人乗りのタクシーと5人乗りのタクシーを合わせて8台使い、47人の客を運びたい。7人乗りのタクシーの料金は800円、5人乗りのタクシーの料金は720円である。全体の料金が6100円を超えないようにするには、7人乗りと5人乗りのタクシーをそれぞれ何台使えばよいか。

2. 解き方の手順

7人乗りのタクシーの台数を $x$ とすると、5人乗りのタクシーの台数は $8-x$ と表せる。

客の人数に関する式は以下の通りになる。

$7x + 5(8-x) = 47$

料金に関する式は以下の通りになる。

$800x + 720(8-x) \le 6100$

まず、客の人数に関する式を解く。

$7x + 40 - 5x = 47$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

タクシーの台数は整数なので、7人乗りのタクシーの台数 $x$ は整数でなければならない。

$x$ は整数なので、人数についての式だけでは台数を決定できない。

次に、料金に関する式を解く。

$800x + 5760 - 720x \le 6100$

$80x \le 340$

$x \le \frac{340}{80} = \frac{17}{4} = 4.25$

ここで、7人乗りのタクシーの台数 $x$ と5人乗りのタクシーの台数 $8-x$ はともに正の整数でなければならない。また、$x \le 4.25$ である。

$x$ と $8-x$ の整数条件と $7x + 5(8-x) = 47$ を満たす $x$ を探す。

$7x + 40 - 5x = 47$

$2x = 7$

これは整数解を持たない。しかし、問題文から、客の人数は「47人」と指定されており、合計台数は「8台」と指定されているので、これらの条件を満たす整数解が存在するはずである。

しかし、$2x = 7$ は整数解を持たないため、条件を満たすタクシーの台数の組み合わせは存在しない。

ここで、問題文に矛盾がある可能性がある。

もし47人の客を乗せる条件を無視すれば、$x \le 4.25$ となる。このとき、xは整数なので、$x=0,1,2,3,4$ が考えられる。

$800x+720(8-x) \le 6100$をみたす整数xを探す。

$x=0$のとき $800(0)+720(8) = 5760 < 6100$

$x=1$のとき $800(1)+720(7) = 5840 < 6100$

$x=2$のとき $800(2)+720(6) = 5920 < 6100$

$x=3$のとき $800(3)+720(5) = 6000 < 6100$

$x=4$のとき $800(4)+720(4) = 6080 < 6100$

また、客の人数についての条件を満たす可能性を考えると、$7x+5(8-x)=47$より$2x=7$となるが、これは整数解をもたない。

しかし、もし47人の制約条件を緩めれば、可能な台数が出てくる。

7人乗りのタクシーを3台、5人乗りのタクシーを5台利用した場合、$7*3 + 5*5 = 21 + 25 = 46$人となり、料金は$800*3 + 720*5 = 2400 + 3600 = 6000$円となる。

3. 最終的な答え

7人乗りタクシーを3台、5人乗りタクシーを5台利用すると、料金は6000円で6100円以下になり、46人を運べる。

問題の条件をすべて満たす整数解は存在しない。ただし、47人を運ぶという条件を46人に緩和すると、7人乗りを3台、5人乗りを5台とすることで、料金は6100円以下になる。

または、7人乗りを4台、5人乗りを4台とすると、料金は6080円で6100円以下になり、$7*4+5*4=28+20=48$人を運べる。