ある試験の結果について、母標準偏差が16点であることがわかっています。受験者の中から無作為に100人を抽出したところ、その平均点が54点でした。この試験の母平均 $m$ を信頼度95%で推定します。答えは小数第2位を四捨五入して小数第1位まで示します。

1. 問題の内容

ある試験の結果について、母標準偏差が16点であることがわかっています。受験者の中から無作為に100人を抽出したところ、その平均点が54点でした。この試験の母平均 $m$ を信頼度95%で推定します。答えは小数第2位を四捨五入して小数第1位まで示します。

2. 解き方の手順

母平均 $m$ の信頼区間を求めるには、以下の公式を使用します。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$ は標本平均（この場合は54点）

$\sigma$ は母標準偏差（この場合は16点）

$n$ は標本サイズ（この場合は100人）

$z_{\alpha/2}$ は信頼度に対応するZ値です。信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$です。

信頼区間を計算します。まず、誤差の幅を計算します。

$E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{16}{\sqrt{100}} = 1.96 \times \frac{16}{10} = 1.96 \times 1.6 = 3.136$

次に、信頼区間の上限と下限を計算します。

下限: $\bar{x} - E = 54 - 3.136 = 50.864$

上限: $\bar{x} + E = 54 + 3.136 = 57.136$

問題文の指示に従って、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで示します。

下限: 50.9

上限: 57.1

3. 最終的な答え

母平均 $m$ の信頼度95%の信頼区間は、[50.9, 57.1]です。