$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x dx$を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x dx$を計算してください。

2. 解き方の手順

$\cos^5 x$を$\cos x$と$\cos^4 x$に分けます。さらに$\cos^4 x$を$(\cos^2 x)^2$と変形し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$の関係を利用します。

\begin{align*}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos^4 x dx \\

&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (\cos^2 x)^2 dx \\

&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x)^2 dx

\end{align*}

ここで、$u = \sin x$と置換すると、$du = \cos x dx$となり、積分範囲は$x=0$のとき$u=0$、$x=\frac{\pi}{2}$のとき$u=1$となります。

\begin{align*}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x)^2 dx &= \int_{0}^{1} (1 - u^2)^2 du \\

&= \int_{0}^{1} (1 - 2u^2 + u^4) du \\

&= \left[ u - \frac{2}{3} u^3 + \frac{1}{5} u^5 \right]_0^1 \\

&= 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \\

&= \frac{15 - 10 + 3}{15} \\

&= \frac{8}{15}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{8}{15}$