与えられた積分 $\int \sin^2(3\theta)\cos(2\theta) d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sin^2(3\theta)\cos(2\theta) d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、三角関数の積を和に変換する公式を使います。まず、$\sin^2(3\theta)$ を半角の公式で書き換えます。

$\sin^2(3\theta) = \frac{1 - \cos(6\theta)}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sin^2(3\theta)\cos(2\theta) d\theta = \int \frac{1 - \cos(6\theta)}{2}\cos(2\theta) d\theta = \frac{1}{2}\int (\cos(2\theta) - \cos(6\theta)\cos(2\theta)) d\theta$

次に、積 $\cos(6\theta)\cos(2\theta)$ を和に変換します。積和の公式より、

$\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$

したがって、

$\cos(6\theta)\cos(2\theta) = \frac{1}{2}(\cos(8\theta) + \cos(4\theta))$

積分は次のようになります。

$\frac{1}{2}\int (\cos(2\theta) - \frac{1}{2}(\cos(8\theta) + \cos(4\theta))) d\theta = \frac{1}{2}\int \cos(2\theta) - \frac{1}{2}\cos(8\theta) - \frac{1}{2}\cos(4\theta) d\theta$

$= \frac{1}{2} \int \cos(2\theta) d\theta - \frac{1}{4} \int \cos(8\theta) d\theta - \frac{1}{4} \int \cos(4\theta) d\theta$

各項を積分すると、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2\theta) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8}\sin(8\theta) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\sin(4\theta) + C$

$= \frac{1}{4}\sin(2\theta) - \frac{1}{32}\sin(8\theta) - \frac{1}{16}\sin(4\theta) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}\sin(2\theta) - \frac{1}{32}\sin(8\theta) - \frac{1}{16}\sin(4\theta) + C$