$x = \sqrt{2}-1$ のとき、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2}-1$ のとき、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$を計算します。

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$$

次に、$x+\frac{1}{x}$ を計算します。

$$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}$$

ここで、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を計算します。

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 - 2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 = 8 - 2 = 6$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right) = (2\sqrt{2})^3 - 3(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

最後に、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を計算します。

$$x^5 + \frac{1}{x^5} = \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right) - \left(x+\frac{1}{x}\right) = 6(10\sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = 60\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 58\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$58\sqrt{2}$