次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x - \sin x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x - \sin x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x - \sin x}{x}$

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{\cos 2x} - \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x \cos 2x}{x \cos 2x}$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x \cos x - \sin x \cos 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (2 \cos x - \cos 2x)}{x \cos 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x - \cos 2x}{\cos 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$、$\lim_{x \to 0} \cos 2x = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x - \cos 2x}{\cos 2x} = \frac{2(1) - 1}{1} = 1$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x - \sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$

$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 2(1) = 2$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3x}{2x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{x}{2x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 2