ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A)=65, n(B)=40, n(A \cap B)=14, n(C \cap A)=11, n(B \cup C)=55, n(C \cup A)=78, n(A \cup B \cup C)=99$ のとき、次の問いに答えよ。 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。

$n(A)=65, n(B)=40, n(A \cap B)=14, n(C \cap A)=11, n(B \cup C)=55, n(C \cup A)=78, n(A \cup B \cup C)=99$

のとき、次の問いに答えよ。

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$ より、

$55 = 40 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) = 55 - 40 + n(B \cap C) = 15 + n(B \cap C)$

$n(A \cup B \cup C) = n(A \cup (B \cup C)) = n(A) + n(B \cup C) - n(A \cap (B \cup C))$

$99 = 65 + 55 - n(A \cap (B \cup C))$

$n(A \cap (B \cup C)) = 65 + 55 - 99 = 21$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$n(A \cap (B \cup C)) = n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)$

$21 = 14 + 11 - n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 14 + 11 - 21 = 4$

(2) $n(A \cap B \cap C) = 4$

(3) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + n(C) - 14 - n(B \cap C) - 11 + 4$

$99 = 84 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) = 15$

$n(C) = 15 + n(B \cap C)$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$

$55 = 40 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) = 15$

ここで、$n(C) = 15 + n(B \cap C)$より、

$n(C) = 15 + n(B \cap C) = 15 + x$とおくと、$n(B \cap C) = x$

$n(A \cup B \cup C) = 99$ より、ベン図を考えると、Aのみ、Bのみ、Cのみを受験した人の合計は、

$n(A \cup B \cup C) = (Aのみ) + (Bのみ) + (Cのみ) + (A \cap Bのみ) + (B \cap Cのみ) + (C \cap Aのみ) + (A \cap B \cap C)$

$Aのみ = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 65 - 14 - 11 + 4 = 44$

$Bのみ = n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 40 - 14 - x + 4 = 30 - x$

$Cのみ = n(C) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C) = 15+x - x - 11 + 4 = 8$

$A \cap Bのみ = n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C) = 14 - 4 = 10$

$B \cap Cのみ = n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C) = x - 4$

$C \cap Aのみ = n(C \cap A) - n(A \cap B \cap C) = 11 - 4 = 7$

したがって、$A,B,C$のどれか1大学のみを受験した人は、

$Aのみ + Bのみ + Cのみ = 44 + 30 - x + 8 = 82 - x$

$n(B \cup C) = 55 = n(B) + n(C) - n(B \cap C) = 40 + 15+x - x = 55$ (矛盾しない)

$n(A \cup B \cup C) = 99$

$n(A \cup B \cup C) = (Aのみ) + (Bのみ) + (Cのみ) + (A \cap Bのみ) + (B \cap Cのみ) + (A \cap Cのみ) + (A \cap B \cap C)$

$99 = 44 + 30 - x + 8 + 10 + x - 4 + 7 + 4$

$99 = 99 + 0$ (矛盾しない)

さて、$C \cup A$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$

$78 = n(C) + 65 - 11$

$n(C) = 78 - 65 + 11 = 24$

$24 = 15 + x$ より $x=9$

したがって、$A,B,C$のどれか1大学のみを受験した人は、$82 - x = 82 - 9 = 73$

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人

(3) 73人