与えられた等比級数が収束するか発散するかを判定し、収束する場合はその和を求めます。以下の4つの級数について検討します。 (1) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$ (2) $9 + 2.7 + 0.81 + 0.243 + \dots$ (3) $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \dots$ (4) $1 - (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} - 2)^2 - \dots$

はい、承知いたしました。問題文の指示に従って、等比級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等比級数が収束するか発散するかを判定し、収束する場合はその和を求めます。以下の4つの級数について検討します。

(1) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

(2) $9 + 2.7 + 0.81 + 0.243 + \dots$

(3) $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \dots$

(4) $1 - (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} - 2)^2 - \dots$

2. 解き方の手順

等比級数 $a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$ が収束するための条件は、$|r| < 1$ です。ここで $a$ は初項、$r$ は公比です。収束する場合、等比級数の和は $\frac{a}{1-r}$ で求められます。

(1) 初項 $a = 1$、公比 $r = 2$ です。 $|r| = 2 > 1$ なので、発散します。

(2) 初項 $a = 9$、公比 $r = \frac{2.7}{9} = 0.3 = \frac{3}{10}$ です。 $|r| = 0.3 < 1$ なので、収束します。和は、

$S = \frac{9}{1 - 0.3} = \frac{9}{0.7} = \frac{90}{7}$

(3) 初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。 $|r| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ なので、収束します。和は、

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2}$

(4) 初項 $a = 1$、公比 $r = -(\sqrt{5} - 2) = 2 - \sqrt{5}$ です。 $|r| = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 \approx 2.236 - 2 = 0.236 < 1$ なので、収束します。和は、

$S = \frac{1}{1 - (2 - \sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 収束し、和は $\frac{90}{7}$

(3) 収束し、和は $2 + \sqrt{2}$

(4) 収束し、和は $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$