与えられた4つの等比級数が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求める問題です。 (1) $1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \dots + \frac{x^{n-1}}{3^{n-1}} + \dots$ (2) $x + x(1-x) + x(1-x)^2 + \dots + x(1-x)^{n-1} + \dots \quad (x \neq 0)$ (3) $x^2 + \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{x^2}{(x^2+1)^2} + \dots + \frac{x^2}{(x^2+1)^{n-1}} + \dots \quad (x \neq 0)$ (4) $1 + x(1-x) + x^2(1-x)^2 + \dots + x^{n-1}(1-x)^{n-1} + \dots$

1. 問題の内容

与えられた4つの等比級数が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求める問題です。

(1) $1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \dots + \frac{x^{n-1}}{3^{n-1}} + \dots$

(2) $x + x(1-x) + x(1-x)^2 + \dots + x(1-x)^{n-1} + \dots \quad (x \neq 0)$

(3) $x^2 + \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{x^2}{(x^2+1)^2} + \dots + \frac{x^2}{(x^2+1)^{n-1}} + \dots \quad (x \neq 0)$

(4) $1 + x(1-x) + x^2(1-x)^2 + \dots + x^{n-1}(1-x)^{n-1} + \dots$

2. 解き方の手順

等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ は、初項 $a$、公比 $r$ に対して、

- $|r| < 1$ のとき収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ となります。

- $|r| \geq 1$ のとき発散します。

(1) 初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{x}{3}$ です。収束条件は $|\frac{x}{3}| < 1$、つまり $-1 < \frac{x}{3} < 1$ なので、$-3 < x < 3$ です。

このとき、和は $\frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = \frac{1}{\frac{3-x}{3}} = \frac{3}{3-x}$ です。

(2) 初項 $a = x$、公比 $r = 1-x$ です。収束条件は $|1-x| < 1$、つまり $-1 < 1-x < 1$ なので、$-2 < -x < 0$、よって $0 < x < 2$ です。

このとき、和は $\frac{x}{1 - (1-x)} = \frac{x}{x} = 1$ です。

(3) 初項 $a = x^2$、公比 $r = \frac{1}{x^2+1}$ です。収束条件は $|\frac{1}{x^2+1}| < 1$ です。$x^2+1 > 0$ なので、$x^2+1 > 1$、つまり $x^2 > 0$ です。$x \neq 0$ より、$x$ は0以外のすべての実数です。

このとき、和は $\frac{x^2}{1 - \frac{1}{x^2+1}} = \frac{x^2}{\frac{x^2+1-1}{x^2+1}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{x^2+1}} = x^2+1$ です。

(4) 初項 $a = 1$、公比 $r = x(1-x)$ です。収束条件は $|x(1-x)| < 1$、つまり $-1 < x(1-x) < 1$ です。

まず、$x(1-x) < 1$ を解きます。$x - x^2 < 1$ より $x^2 - x + 1 > 0$。これは $(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ なので、常に成り立ちます。

次に、$-1 < x(1-x)$ を解きます。$-1 < x - x^2$ より $x^2 - x - 1 < 0$。

$x^2 - x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ なので、$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ です。

このとき、和は $\frac{1}{1 - x(1-x)} = \frac{1}{1 - x + x^2} = \frac{1}{x^2 - x + 1}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 収束範囲: $-3 < x < 3$、和: $\frac{3}{3-x}$

(2) 収束範囲: $0 < x < 2$、和: $1$

(3) 収束範囲: $x \neq 0$、和: $x^2 + 1$

(4) 収束範囲: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、和: $\frac{1}{x^2 - x + 1}$