定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx$ とおきます。

一度目の部分積分：

$u = \sin x$, $dv = e^{-x}dx$ とすると、

$du = \cos x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx = \left[ -e^{-x}\sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-e^{-x})\cos x dx$

$= -e^{-\frac{\pi}{2}}\sin(\frac{\pi}{2}) - (-e^{-0}\sin(0)) + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\cos x dx$

$= -e^{-\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\cos x dx$

二度目の部分積分：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\cos x dx$ に対して、$u = \cos x$, $dv = e^{-x}dx$ とすると、

$du = -\sin x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\cos x dx = \left[ -e^{-x}\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-e^{-x})(-\sin x) dx$

$= -e^{-\frac{\pi}{2}}\cos(\frac{\pi}{2}) - (-e^{-0}\cos(0)) - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx$

$= -e^{-\frac{\pi}{2}}(0) + 1 - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx$

$= 1 - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin x dx$

$= 1 - I$

したがって、

$I = -e^{-\frac{\pi}{2}} + 1 - I$

$2I = 1 - e^{-\frac{\pi}{2}}$

$I = \frac{1}{2}(1 - e^{-\frac{\pi}{2}})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}(1 - e^{-\frac{\pi}{2}})$

または

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}})$

または

$\frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2e^{\frac{\pi}{2}}}$