関数 $y = x^3 - 3x$ のグラフについて、以下の問題を解きます。 (1) グラフ上の点 $(p, p^3 - 3p)$ における接線の方程式を求めます。 (2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点 $(a, b)$ が存在する範囲を図示します。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x$ のグラフについて、以下の問題を解きます。

(1) グラフ上の点 $(p, p^3 - 3p)$ における接線の方程式を求めます。

(2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点 $(a, b)$ が存在する範囲を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(p, p^3 - 3p)$ における接線の方程式を求めます。

まず、関数 $y = x^3 - 3x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 - 3$

点 $(p, p^3 - 3p)$ における接線の傾きは、$y'$ に $x = p$ を代入した値になります。

$m = 3p^2 - 3$

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (p^3 - 3p) = (3p^2 - 3)(x - p)$

$y = (3p^2 - 3)x - 3p^3 + 3p + p^3 - 3p$

$y = (3p^2 - 3)x - 2p^3$

(2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点 $(a, b)$ の範囲を求めます。

(1) で求めた接線の方程式を $y = (3p^2 - 3)x - 2p^3$ とします。

この接線が点 $(a, b)$ を通るとすると、

$b = (3p^2 - 3)a - 2p^3$

$2p^3 - 3ap^2 + 3a + b = 0$

この $p$ に関する3次方程式が異なる2つの実数解を持つとき、点 $(a, b)$ を通る接線がちょうど2つ存在します。

$f(p) = 2p^3 - 3ap^2 + 3a + b$ と置きます。

$f'(p) = 6p^2 - 6ap = 6p(p - a)$

$f'(p) = 0$ となる $p$ の値は $p = 0, a$ です。

$p = 0, a$ で $f(p)$ が極値を持つので、3次方程式 $f(p) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、極大値と極小値の積が0になることです。つまり $f(0)f(a) = 0$

$f(0) = 3a + b$

$f(a) = 2a^3 - 3a^3 + 3a + b = -a^3 + 3a + b$

$(3a + b)(-a^3 + 3a + b) = 0$

よって、$b = -3a$ または $b = a^3 - 3a$

$b = -3a$ のとき、$f(p) = 2p^3 - 3ap^2$

$f(p) = p^2(2p - 3a) = 0$ なので、$p = 0, \frac{3a}{2}$

$b = a^3 - 3a$ のとき、$f(p) = 2p^3 - 3ap^2 + 3a + a^3 - 3a = 2p^3 - 3ap^2 + a^3$

$f(a) = 0$ なので、$(p-a)$ を因数に持つ。

$2p^3 - 3ap^2 + a^3 = (p - a)(2p^2 - ap - a^2) = (p-a)(p-a)(2p+a) = (p-a)^2(2p+a)$

$p = a, -\frac{a}{2}$

$b=-3a$ または $b=a^3-3a$　但し、$a≠0$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式：$y = (3p^2 - 3)x - 2p^3$

(2) $(a,b)$ が存在する範囲：$b=-3a$ または $b=a^3-3a$　但し、$a≠0$

グラフとしては、$y = x^3 - 3x$ と $y = -3x$