与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $ の逆行列を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 \\

-1 & -1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

の逆行列を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めるには、以下の手順で行います。

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算する。

(2) 行列 $A$ の余因子行列 $C$ を計算する。

(3) 余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を計算する。

(4) 逆行列 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T$ を計算する。

(1) 行列式 $|A|$ の計算

$$

|A| = \begin{vmatrix}

1 & 2 & -1 \\

-1 & -1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}

$$

$$

= 1((-1)(1) - (2)(-1)) - 2((-1)(1) - (2)(2)) - 1((-1)(-1) - (-1)(2))

$$

$$

= 1(-1 + 2) - 2(-1 - 4) - 1(1 + 2)

$$

$$

= 1(1) - 2(-5) - 1(3) = 1 + 10 - 3 = 8

$$

したがって、$|A| = 8$

(2) 余因子行列 $C$ の計算

$$

C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1

$$

$$

C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 4) = 5

$$

$$

C_{13} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3

$$

$$

C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 1) = -1

$$

$$

C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3

$$

$$

C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 4) = 5

$$

$$

C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3

$$

$$

C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 1) = -1

$$

$$

C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1

$$

したがって、$C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -1 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 転置行列 $C^T$ の計算

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ の計算

$$

A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}

$$