与えられた3x3行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $ の逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 \\

-1 & -1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

の逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を$A$とします。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 \\

-1 & -1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

逆行列を求めるには、以下の手順を行います。

1. 行列式の計算: $det(A)$を計算します。

2. 余因子行列の計算: 各要素の余因子を計算し、余因子行列を作成します。

3. 転置行列の計算: 余因子行列を転置します（随伴行列）。

4. 逆行列の計算: 随伴行列を$det(A)$で割ります。

手順1: 行列式の計算

$$

\begin{aligned}

det(A) &= 1((-1)(1) - (2)(-1)) - 2((-1)(1) - (2)(2)) + (-1)((-1)(-1) - (-1)(2)) \\

&= 1(-1 + 2) - 2(-1 - 4) - 1(1 + 2) \\

&= 1(1) - 2(-5) - 1(3) \\

&= 1 + 10 - 3 \\

&= 8

\end{aligned}

$$

$det(A) = 8$

手順2: 余因子行列の計算

各要素の余因子を計算します。

$$

\begin{aligned}

C_{11} &= (-1)(1) - (2)(-1) = -1 + 2 = 1 \\

C_{12} &= -((-1)(1) - (2)(2)) = -(-1 - 4) = 5 \\

C_{13} &= (-1)(-1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3 \\

C_{21} &= -(2(1) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1 \\

C_{22} &= (1)(1) - (2)(-1) = 1 + 2 = 3 \\

C_{23} &= -(1(-1) - 2(2)) = -(-1 - 4) = 5 \\

C_{31} &= 2(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3 \\

C_{32} &= -(1(2) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1 \\

C_{33} &= (1)(-1) - (2)(-1) = -1 + 2 = 1

\end{aligned}

$$

余因子行列は次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 5 & 3 \\

-1 & 3 & 5 \\

3 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

手順3: 転置行列の計算（随伴行列）

余因子行列を転置します。

$$

adj(A) = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 3 \\

5 & 3 & -1 \\

3 & 5 & 1

\end{pmatrix}

$$

手順4: 逆行列の計算

随伴行列を$det(A)$で割ります。

$$

A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix}

1 & -1 & 3 \\

5 & 3 & -1 \\

3 & 5 & 1

\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}

\frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \\

\frac{5}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\

\frac{3}{8} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8}

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \\

\frac{5}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\

\frac{3}{8} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8}

\end{pmatrix}

$$