与えられた4つのシグマ計算の問題を解きます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (k+6)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 4k + 1)$ (3) $\sum_{l=1}^{n} (2l - 3)(l^2 + 5)$ (4) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$

1. 問題の内容

与えられた4つのシグマ計算の問題を解きます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k+6)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 4k + 1)$

(3) $\sum_{l=1}^{n} (2l - 3)(l^2 + 5)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$

2. 解き方の手順

(1) シグマの性質を利用して、$\sum_{k=1}^{n} k$と$\sum_{k=1}^{n} 6$に分けます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 6 = 6n$

よって、$\sum_{k=1}^{n} (k+6) = \frac{n(n+1)}{2} + 6n = \frac{n(n+1) + 12n}{2} = \frac{n(n+13)}{2}$

(2) シグマの性質を利用して、$\sum_{k=1}^{n} 9k^2$、$\sum_{k=1}^{n} 4k$、$\sum_{k=1}^{n} 1$に分けます。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、$\sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 4k + 1) = 9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 2n(n+1) + n = \frac{3n(2n^2+3n+1)}{2} - 2n^2 - 2n + n = \frac{6n^3+9n^2+3n}{2} - 2n^2 - n = \frac{6n^3+9n^2+3n-4n^2-2n}{2} = \frac{6n^3+5n^2+n}{2} = \frac{n(6n^2+5n+1)}{2} = \frac{n(2n+1)(3n+1)}{2}$

(3) まず、$(2l - 3)(l^2 + 5)$を展開します。

$(2l - 3)(l^2 + 5) = 2l^3 + 10l - 3l^2 - 15 = 2l^3 - 3l^2 + 10l - 15$

シグマの性質を利用して、$\sum_{l=1}^{n} 2l^3$、$\sum_{l=1}^{n} 3l^2$、$\sum_{l=1}^{n} 10l$、$\sum_{l=1}^{n} 15$に分けます。

$\sum_{l=1}^{n} l^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{l=1}^{n} l^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{l=1}^{n} l = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{l=1}^{n} 1 = n$

よって、$\sum_{l=1}^{n} (2l - 3)(l^2 + 5) = 2\sum_{l=1}^{n} l^3 - 3\sum_{l=1}^{n} l^2 + 10\sum_{l=1}^{n} l - 15\sum_{l=1}^{n} 1 = 2(\frac{n(n+1)}{2})^2 - 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 10\frac{n(n+1)}{2} - 15n = \frac{n^2(n+1)^2}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + 5n(n+1) - 15n = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{2} - \frac{n(2n^2+3n+1)}{2} + 5n^2 + 5n - 15n = \frac{n^4+2n^3+n^2}{2} - \frac{2n^3+3n^2+n}{2} + 5n^2 - 10n = \frac{n^4+2n^3+n^2-2n^3-3n^2-n}{2} + 5n^2 - 10n = \frac{n^4-2n^2-n}{2} + 5n^2 - 10n = \frac{n^4-2n^2-n+10n^2-20n}{2} = \frac{n^4+8n^2-21n}{2} = \frac{n(n^3+8n-21)}{2}$

(4) これは等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$

この場合、$a = 2$、$r = 3$なので、

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1} = 2 \cdot \frac{1-3^n}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-3^n}{-2} = -(1-3^n) = 3^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+13)}{2}$

(2) $\frac{n(2n+1)(3n+1)}{2}$

(3) $\frac{n(n^3+8n-21)}{2}$

(4) $3^n - 1$