問題文から以下の問題について回答します。 * 問題1 (1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ の階数を求めよ。 * 問題2 (1) 連立一次方程式 $\begin{cases} 18x + 9y + z = 1 \\ 12x + 8y + 2z = 2 \\ 8x + 4y + z = 3 \end{cases}$ の解を判定し、解を持つならばその解を求めよ。 * 問題3 (1) 行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ が正則行列かどうかを判定し、正則行列ならばその逆行列を求めよ。 * 問題4 (2) 連立一次方程式 $\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 4x + 5y + 6z = 2 \\ 7x + 8y = 3 \end{cases}$ を解け。

1. 問題の内容

問題文から以下の問題について回答します。

* 問題1 (1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ の階数を求めよ。

* 問題2 (1) 連立一次方程式 $\begin{cases} 18x + 9y + z = 1 \\ 12x + 8y + 2z = 2 \\ 8x + 4y + z = 3 \end{cases}$ の解を判定し、解を持つならばその解を求めよ。

* 問題3 (1) 行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ が正則行列かどうかを判定し、正則行列ならばその逆行列を求めよ。

* 問題4 (2) 連立一次方程式 $\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 4x + 5y + 6z = 2 \\ 7x + 8y = 3 \end{cases}$ を解け。

2. 解き方の手順

**問題1 (1)**

行列$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$に以下の行基本変形を施します。

(2行目) - 2 * (1行目) -> (2行目)

(3行目) + (1行目) -> (3行目)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & -9 & -3 \\ 0 & 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

(2行目) / (-3) -> (2行目)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

(3行目) - 2 * (2行目) -> (3行目)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(1行目) - (2行目) -> (1行目)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階段行列の0でない行の数は2なので、行列$A$の階数は2です。

**問題2 (1)**

連立一次方程式 $\begin{cases} 18x + 9y + z = 1 \\ 12x + 8y + 2z = 2 \\ 8x + 4y + z = 3 \end{cases}$ を解きます。

まず、拡大係数行列を作ります。

$\begin{pmatrix} 18 & 9 & 1 & 1 \\ 12 & 8 & 2 & 2 \\ 8 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(1行目)/9 -> (1行目)

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1/9 & 1/9 \\ 12 & 8 & 2 & 2 \\ 8 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(2行目) - 6*(1行目) -> (2行目)

(3行目) - 4*(1行目) -> (3行目)

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1/9 & 1/9 \\ 0 & 2 & 4/3 & 4/3 \\ 0 & 0 & 5/9 & 23/9 \end{pmatrix}$

最後の行より、$0x + 0y + (5/9)z = 23/9$。

これは、$0 = 23/5$となり矛盾するので、この連立一次方程式は解を持ちません。

**問題3 (1)**

行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$det(A) = -3(2*(-1) - 1*(-1)) - 2((-2)*(-1) - 1*2) + 2((-2)*(-1) - 2*2)$

$= -3(-2 + 1) - 2(2 - 2) + 2(2 - 4)$

$= -3(-1) - 2(0) + 2(-2)$

$= 3 - 0 - 4$

$= -1$

行列式が0でないので、行列$A$は正則行列です。逆行列を求めます。

余因子行列を求めます。

$C = \begin{pmatrix} (2*(-1) - 1*(-1)) & -((-2)*(-1) - 1*2) & ((-2)*(-1) - 2*2) \\ - (2*(-1) - 2*(-1)) & ((-3)*(-1) - 2*2) & -((-3)*(-1) - 2*(-2)) \\ (2*1 - 2*2) & -((-3)*1 - (-2)*2) & ((-3)*2 - 2*(-2)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -7 \\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列（随伴行列）を求めます。

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & -7 & 2 \end{pmatrix}$

逆行列は、$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$ なので、

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & -7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 7 & -2 \end{pmatrix}$

**問題4 (2)**

連立一次方程式 $\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 4x + 5y + 6z = 2 \\ 7x + 8y = 3 \end{cases}$ を解きます。

係数行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$ と定数ベクトル $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を用いて、$Ax = b$ と表現します。

まず、係数行列$A$の行列式を計算します。

$det(A) = 1*(5*0 - 6*8) - 2*(4*0 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7)$

$= 1*(0 - 48) - 2*(0 - 42) + 3*(32 - 35)$

$= -48 + 84 + 3*(-3)$

$= -48 + 84 - 9 = 27$

行列式が0でないので、行列$A$は正則行列です。逆行列を求めます。

余因子行列を求めます。

$C = \begin{pmatrix} (5*0 - 6*8) & -(4*0 - 6*7) & (4*8 - 5*7) \\ -(2*0 - 3*8) & (1*0 - 3*7) & -(1*8 - 2*7) \\ (2*6 - 3*5) & -(1*6 - 3*4) & (1*5 - 2*4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -48 & 42 & -3 \\ 24 & -21 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列（随伴行列）を求めます。

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -48 & 24 & -3 \\ 42 & -21 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

逆行列は、$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$ なので、

$A^{-1} = \frac{1}{27} \begin{pmatrix} -48 & 24 & -3 \\ 42 & -21 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16/9 & 8/9 & -1/9 \\ 14/9 & -7/9 & 2/9 \\ -1/9 & 2/9 & -1/9 \end{pmatrix}$

解は $x = A^{-1}b$ なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16/9 & 8/9 & -1/9 \\ 14/9 & -7/9 & 2/9 \\ -1/9 & 2/9 & -1/9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-16 + 16 - 3)/9 \\ (14 - 14 + 6)/9 \\ (-1 + 4 - 3)/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/9 \\ 6/9 \\ 0/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 2/3 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

* 問題1 (1): 2

* 問題2 (1): 解なし

* 問題3 (1): 正則行列であり、逆行列は $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 7 & -2 \end{pmatrix}$

* 問題4 (2): $x = -1/3, y = 2/3, z = 0$