与えられた方程式 $e^x - e^{-x} = 2a$ （$a$ は実数）を満たす $x$ を、$a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $e^x - e^{-x} = 2a$ （$a$ は実数）を満たす $x$ を、$a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$e^{-x}$ を $\frac{1}{e^x}$ と書き換えます。すると、方程式は

$e^x - \frac{1}{e^x} = 2a$

となります。

両辺に $e^x$ を掛けると、

$(e^x)^2 - 1 = 2a e^x$

となり、整理すると

$(e^x)^2 - 2a e^x - 1 = 0$

となります。

ここで、$e^x = t$ と置くと、$t > 0$ であり、方程式は

$t^2 - 2at - 1 = 0$

となります。

この $t$ についての二次方程式を解くと、

$t = \frac{2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 4}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 + 1}$

となります。

$t = e^x > 0$ であるため、$t = a + \sqrt{a^2 + 1}$ となります。（なぜなら、$\sqrt{a^2 + 1} > |a|$ より、$a - \sqrt{a^2 + 1} < 0$ となるから。）

したがって、$e^x = a + \sqrt{a^2 + 1}$ です。

両辺の自然対数を取ると、

$x = \ln (a + \sqrt{a^2 + 1})$

となります。

3. 最終的な答え

$x = \ln(a + \sqrt{a^2 + 1})$