以下の式を計算しなさい。 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{27}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9-4\sqrt{5}}}$

はい、承知いたしました。問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

以下の式を計算しなさい。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{27}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9-4\sqrt{5}}}$

2. 解き方の手順

まず、各項を簡略化します。

最初の項の分母について、$\sqrt{27}=\sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ であるから、

$\sqrt{6}-\sqrt{27} = \sqrt{6} - 3\sqrt{3}$

したがって、最初の項は次のようになります。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-3\sqrt{3}}$

2番目の項の分母について、二重根号を外します。$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{9-2\sqrt{20}}$を考えます。

$a+b = 9$ および $ab = 20$ となる $a, b$ を見つけます。$a=5$ および $b=4$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{4})^2}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$

したがって、2番目の項は次のようになります。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2}$

最初の項をさらに簡略化します。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{2}-3)} = \frac{2}{\sqrt{2}-3}$

分母を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{2}-3} = \frac{2(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)} = \frac{2(\sqrt{2}+3)}{2-9} = \frac{2(\sqrt{2}+3)}{-7} = -\frac{2\sqrt{2}+6}{7}$

2番目の項も分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{5-4} = \sqrt{10}+2\sqrt{2}$

したがって、式は次のようになります。

$-\frac{2\sqrt{2}+6}{7} - (\sqrt{10}+2\sqrt{2}) = -\frac{2\sqrt{2}+6}{7} - \frac{7\sqrt{10}+14\sqrt{2}}{7} = \frac{-2\sqrt{2}-6-7\sqrt{10}-14\sqrt{2}}{7} = \frac{-16\sqrt{2}-7\sqrt{10}-6}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{-16\sqrt{2}-7\sqrt{10}-6}{7}$