与えられた複素数の割り算 $\frac{2-i}{3+i}$ を計算し、結果を$a+bi$の形で表す。

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算 $\frac{2-i}{3+i}$ を計算し、結果を$a+bi$の形で表す。

2. 解き方の手順

分母の共役複素数を分子と分母に掛けることで、分母を実数化します。

分母の共役複素数は $3-i$ です。

$$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}$$

分子を展開します。

$$(2-i)(3-i) = 2(3) + 2(-i) - i(3) - i(-i) = 6 - 2i - 3i + i^2 = 6 - 5i - 1 = 5 - 5i$$

分母を展開します。

$$(3+i)(3-i) = 3(3) + 3(-i) + i(3) + i(-i) = 9 - 3i + 3i - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$$

したがって、

$$\frac{2-i}{3+i} = \frac{5-5i}{10} = \frac{5}{10} - \frac{5}{10}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$