初項が1の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項が2の等比数列 $\{b_n\}$ がある。$c_n = a_n + b_n$ とおくとき、$c_2 = 10$, $c_3 = 25$, $c_4 = 64$ である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

初項が1の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項が2の等比数列 $\{b_n\}$ がある。$c_n = a_n + b_n$ とおくとき、$c_2 = 10$, $c_3 = 25$, $c_4 = 64$ である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列 $\{a_n\}$ の公差を $d$、等比数列 $\{b_n\}$ の公比を $r$ とおく。すると、

$a_n = 1 + (n-1)d$

$b_n = 2r^{n-1}$

と表せる。また、$c_n = a_n + b_n$ であるから、

$c_n = 1 + (n-1)d + 2r^{n-1}$

が成り立つ。与えられた条件 $c_2 = 10, c_3 = 25, c_4 = 64$ を代入すると、

$c_2 = 1 + (2-1)d + 2r^{2-1} = 1 + d + 2r = 10$

$c_3 = 1 + (3-1)d + 2r^{3-1} = 1 + 2d + 2r^2 = 25$

$c_4 = 1 + (4-1)d + 2r^{4-1} = 1 + 3d + 2r^3 = 64$

となる。整理すると、

$d + 2r = 9$ (1)

$2d + 2r^2 = 24$ (2)

$3d + 2r^3 = 63$ (3)

(2)から$d + r^2 = 12$ (4)が得られる。(1)より、$d = 9 - 2r$ なので、これを(4)に代入すると、

$9 - 2r + r^2 = 12$

$r^2 - 2r - 3 = 0$

$(r-3)(r+1) = 0$

$r = 3, -1$

$r = 3$ のとき、 $d = 9 - 2(3) = 3$

$r = -1$ のとき、$d = 9 - 2(-1) = 11$

$r=3, d=3$ のとき、(3)に代入すると、$3(3) + 2(3^3) = 9 + 54 = 63$ となり、条件を満たす。

$r=-1, d=11$ のとき、(3)に代入すると、$3(11) + 2(-1)^3 = 33 - 2 = 31 \neq 63$ となり、条件を満たさない。

したがって、$d=3, r=3$ が確定する。

$a_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$

$b_n = 2(3^{n-1})$

$c_n = a_n + b_n = 3n - 2 + 2(3^{n-1})$

3. 最終的な答え

$c_n = 3n - 2 + 2 \cdot 3^{n-1}$