ベクトル $\vec{a} = (1, -1, -2)$ と $\vec{b} = (-5, 4, 3)$ の内積と、なす角 $\theta$ を求める問題です。

## 問題4

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -1, -2)$ と $\vec{b} = (-5, 4, 3)$ の内積と、なす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 内積の計算

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、各成分の積の和で計算できます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-5) + (-1)(4) + (-2)(3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -5 - 4 - 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$

* ベクトルの大きさの計算

ベクトルの大きさは、各成分の二乗の和の平方根で計算できます。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

* なす角の計算

内積の定義から、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ が成り立ちます。

したがって、$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ となります。

$\cos{\theta} = \frac{-15}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-15}{5\sqrt{12}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}$ (ラジアン) または $150^\circ$

3. 最終的な答え

内積: -15

なす角: $\frac{5\pi}{6}$ (ラジアン) または $150^\circ$