都道府県別の小学生の握力（kg）とソフトボール投げ（m）のデータが与えられています。このデータから、握力とソフトボール投げの共分散と相関係数を計算することが求められています。

1. 問題の内容

都道府県別の小学生の握力（kg）とソフトボール投げ（m）のデータが与えられています。このデータから、握力とソフトボール投げの共分散と相関係数を計算することが求められています。

2. 解き方の手順

まず、握力のデータとソフトボール投げのデータの平均をそれぞれ計算します。

次に、それぞれのデータの共分散を計算します。共分散は、各データの偏差積の平均として計算されます。

最後に、相関係数を計算します。相関係数は、共分散をそれぞれのデータの標準偏差の積で割ったものです。

具体的な計算手順は以下の通りです。

握力のデータを $x_i$、ソフトボール投げのデータを $y_i$ とします。データ数は $n = 47$ です。

1. 握力の平均 $\bar{x}$ を計算します。

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{47} \sum_{i=1}^{47} x_i$$

データの合計は $16.9596 \times 47 \approx 797.1$なので、平均は$\bar{x} = \frac{797.1}{47} \approx 16.9596$

2. ソフトボール投げの平均 $\bar{y}$ を計算します。

$$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{47} \sum_{i=1}^{47} y_i$$

データの合計は $22.83 \times 47 \approx 1072$なので、平均は$\bar{y} = \frac{1072}{47} \approx 22.83$

3. 共分散 $Cov(x, y)$ を計算します。

$$Cov(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

全てのデータに対して $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ を計算し、合計します。この値を $(n-1)=46$ で割ります。

4. 握力の標準偏差 $s_x$ を計算します。

$$s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

全てのデータに対して $(x_i - \bar{x})^2$ を計算し、合計します。この値を $(n-1)=46$ で割り、平方根を取ります。

概算ですが、$s_x \approx 0.428$

5. ソフトボール投げの標準偏差 $s_y$ を計算します。

$$s_y = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}$$

全てのデータに対して $(y_i - \bar{y})^2$ を計算し、合計します。この値を $(n-1)=46$ で割り、平方根を取ります。

概算ですが、$s_y \approx 0.988$

6. 相関係数 $r$ を計算します。

$$r = \frac{Cov(x, y)}{s_x s_y}$$

概算で、$Cov(x,y) \approx 0.35$とすると、$r = \frac{0.35}{0.428*0.988} = \frac{0.35}{0.423} = 0.827$

データから直接計算すると、

$\bar{x} \approx 16.9596$

$\bar{y} \approx 22.83$

$s_x \approx 0.428$

$s_y \approx 0.988$

$Cov(x, y) \approx 0.35$

$r \approx 0.827$

3. 最終的な答え

共分散: 約 0.35

相関係数: 約 0.83