全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$、$B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ (7) $\overline{A \cap B}$ (8) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$、$B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ (7) $\overline{A \cap B}$ (8) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、補集合を計算します。

$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素を集めたものです。

$\overline{B}$ は $U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素を集めたものです。

次に、共通部分($\cap$)と和集合($\cup$)を計算します。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めたものです。

$A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素を集めたものです。

(1) $\overline{A} = U - A = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = U - B = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\} \cap \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{2, 7\}$

(4) $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \cap \{3, 4, 5\} = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B}$ は (3) と同じなので、$\{2, 7\}$

(7) $A \cap B = \{3, 5\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $A \cup \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$