与えられた式を計算せよ。 $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算せよ。

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$

2. 解き方の手順

まず、通分します。

$\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-1)} - \frac{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+3)}$

$= \frac{(\sqrt{5}-1)^2 - (\sqrt{5}+3)^2}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$

$(\sqrt{5}+3)^2 = (\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{5} + 9 = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = 14 + 6\sqrt{5}$

$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-1) = (\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} - 3 = 5 + 2\sqrt{5} - 3 = 2 + 2\sqrt{5}$

$\frac{(6-2\sqrt{5}) - (14+6\sqrt{5})}{2+2\sqrt{5}} = \frac{6-2\sqrt{5}-14-6\sqrt{5}}{2+2\sqrt{5}} = \frac{-8-8\sqrt{5}}{2+2\sqrt{5}}$

分子と分母を2で割ります。

$\frac{-4-4\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

分子から-4を括りだします。

$\frac{-4(1+\sqrt{5})}{1+\sqrt{5}}$

$1+\sqrt{5}$ で約分します。

$-4$

3. 最終的な答え

-4