与えられた対数方程式 $(\log_4 x)(\log_{\sqrt{2}} \sqrt{x}) - (\log_8 x^3)^2 + \log_2 (8x^3) + 1 = 0$ を満たす実数 $x$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式

$(\log_4 x)(\log_{\sqrt{2}} \sqrt{x}) - (\log_8 x^3)^2 + \log_2 (8x^3) + 1 = 0$

を満たす実数 $x$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた対数方程式を簡単にする。

対数の底を2に変換し、$\log_2 x = t$ とおく。

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{t}{2}$

$\log_{\sqrt{2}} \sqrt{x} = \frac{\log_2 \sqrt{x}}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}\log_2 x}{\frac{1}{2}} = t$

$\log_8 x^3 = \frac{\log_2 x^3}{\log_2 8} = \frac{3 \log_2 x}{3} = t$

$\log_2 (8x^3) = \log_2 8 + \log_2 x^3 = 3 + 3 \log_2 x = 3 + 3t$

これらを元の式に代入すると、

$(\frac{t}{2})(t) - t^2 + (3+3t) + 1 = 0$

$\frac{t^2}{2} - t^2 + 3t + 4 = 0$

$-\frac{t^2}{2} + 3t + 4 = 0$

$t^2 - 6t - 8 = 0$

この2次方程式を解くと、

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36+32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$

したがって、$t = 3 + \sqrt{17}$ または $t = 3 - \sqrt{17}$

$t = \log_2 x$ なので、$x = 2^t$

$x = 2^{3 + \sqrt{17}}$ または $x = 2^{3 - \sqrt{17}}$

対数の真数は正である必要があるので、$x > 0$ を満たす。

$2^{3+\sqrt{17}} > 0$ かつ $2^{3-\sqrt{17}} > 0$ なので、これらはどちらも解として適切。

3. 最終的な答え

$x = 2^{3 + \sqrt{17}}, 2^{3 - \sqrt{17}}$