複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を満たすとき、$z$ の極形式を求める問題です。ただし、$z = x + yi$ ($x, y$ は実数) と表されます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を満たすとき、$z$ の極形式を求める問題です。ただし、$z = x + yi$ ($x, y$ は実数) と表されます。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ を与えられた式に代入します。

$x + yi + \frac{1}{x + yi} = \sqrt{2}$

次に、$\frac{1}{x + yi}$ を実数化します。

$\frac{1}{x + yi} = \frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}$

これを元の式に代入すると、

$x + yi + \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$

実部と虚部に分けます。

$(x + \frac{x}{x^2 + y^2}) + (y - \frac{y}{x^2 + y^2})i = \sqrt{2}$

したがって、

$y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0$ かつ $x + \frac{x}{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$

$y(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}) = 0$ より、$y=0$ または $x^2 + y^2 = 1$。

もし $y = 0$ であれば、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ となり、$x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$ となります。

この解は、$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2}$ となり、虚数解を持ちます。しかし、$x$ は実数でなければならないので、これは不適です。

したがって、$x^2 + y^2 = 1$ でなければなりません。

この条件を $x + \frac{x}{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ に代入すると、$x + x = \sqrt{2}$ となり、$2x = \sqrt{2}$、つまり $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$x^2 + y^2 = 1$ より、$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1$ なので、$\frac{1}{2} + y^2 = 1$ であり、$y^2 = \frac{1}{2}$。

したがって、$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$z = x + yi$ なので、$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ または $z = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$。

極形式を求めるためには、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ と $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ を求めます。

$x^2 + y^2 = 1$ より、$r = 1$。

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ のとき、$\theta = \arctan(\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$。

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$ のとき、$\theta = \arctan(\frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$。

したがって、$z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$ または $z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})$。

3. 最終的な答え

$z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$ または $z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})$