問題は、式 $(x-y)(x+y)^2 + (y-z)(y+z)^2 + (z-x)(z+x)^2$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(x-y)(x+y)^2 + (y-z)(y+z)^2 + (z-x)(z+x)^2$ を解くことです。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$(x-y)(x+y)^2 = (x-y)(x^2 + 2xy + y^2) = x^3 + 2x^2y + xy^2 - x^2y - 2xy^2 - y^3 = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$

$(y-z)(y+z)^2 = (y-z)(y^2 + 2yz + z^2) = y^3 + 2y^2z + yz^2 - y^2z - 2yz^2 - z^3 = y^3 + y^2z - yz^2 - z^3$

$(z-x)(z+x)^2 = (z-x)(z^2 + 2zx + x^2) = z^3 + 2z^2x + zx^2 - z^2x - 2zx^2 - x^3 = z^3 + z^2x - zx^2 - x^3$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$(x^3 + x^2y - xy^2 - y^3) + (y^3 + y^2z - yz^2 - z^3) + (z^3 + z^2x - zx^2 - x^3) = x^3 - x^3 + y^3 - y^3 + z^3 - z^3 + x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 = x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2$

この式は、さらに因数分解することができます。

$x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)$

$= x^2(y-z) + y^2z - y^2x + z^2x - z^2y$

$= x^2(y-z) + y^2z - y^2x + z^2x - z^2y = x^2(y-z) - x(y^2 - z^2) + yz(y-z)$

$= x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z)$

$= (y-z)[x^2 - x(y+z) + yz]$

$= (y-z)[x^2 - xy - xz + yz]$

$= (y-z)[x(x-y) - z(x-y)]$

$= (y-z)(x-y)(x-z)$

$= -(x-y)(y-z)(z-x)$

3. 最終的な答え

$-(x-y)(y-z)(z-x)$

または

$(x-y)(z-y)(z-x)$