$(\frac{x^2}{1} - \frac{1}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(\frac{x^2}{1} - \frac{1}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(\frac{x^2}{1} - \frac{1}{x})^6$ の展開式の一般項は、

$${}_6 C_r (\frac{x^2}{1})^{6-r} (-\frac{1}{x})^r = {}_6 C_r x^{2(6-r)} (-1)^r x^{-r} = {}_6 C_r (-1)^r x^{12-2r-r} = {}_6 C_r (-1)^r x^{12-3r}$$

$x^3$ の項を求めるには、指数が3になるように $r$ を決定する必要がある。

したがって、

$12 - 3r = 3$

$3r = 9$

$r = 3$

$r=3$ のとき、一般項は

$${}_6 C_3 (-1)^3 x^{12-3(3)} = {}_6 C_3 (-1)^3 x^3$$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、 $x^3$ の項は $20 (-1)^3 x^3 = -20 x^3$ となる。

3. 最終的な答え

$-20$