行列 $A$ が $A = A^{-1}$ を満たし、かつ対称行列であるとき、$A^2$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A$ が $A = A^{-1}$ を満たし、かつ対称行列であるとき、$A^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$A = A^{-1}$ であることから、両辺に $A$ をかけると、

$A^2 = A A^{-1} = I$

となる。ここで、$I$ は単位行列である。

したがって、$A^2$ は単位行列になる。単位行列は対角成分が1で、それ以外の成分が0の行列である。

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$