複素数 $z$ に対して、方程式 $|z - 2i| = 2|z + i|$ を満たす $z$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、方程式 $|z - 2i| = 2|z + i|$ を満たす $z$ を求めよ。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + yi$ ($x$, $y$ は実数) とおく。

与えられた方程式は

$|x + yi - 2i| = 2|x + yi + i|$

$|x + (y-2)i| = 2|x + (y+1)i|$

両辺を2乗すると

$|x + (y-2)i|^2 = 4|x + (y+1)i|^2$

$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$

$0 = 3x^2 + 3y^2 + 12y$

$0 = x^2 + y^2 + 4y$

$x^2 + (y^2 + 4y) = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y+2)^2 = 2^2$

これは中心 $(0, -2)$、半径 $2$ の円を表す。

3. 最終的な答え

$z = x + yi$ とおくと、$x^2 + (y+2)^2 = 4$ を満たす $x, y$ は実数である。したがって、$z$ は中心 $-2i$、半径 $2$ の円を表す。

言い換えると、

$z = x + yi$ は $x^2 + (y+2)^2 = 4$ で表される円。

また、$|z+2i| = 2$ とも表現できる。